No todas las raíces cuadradas dan un número entero. Aprenderemos a encerrarlas entre cuadrados perfectos y a aproximarlas con la precisión que necesitemos.
Un ejemplo
4² = 16 < 20 < 25 = 5²
4 < √20 < 5
√20 ≈ 4,47
Primero encerramos. Después refinamos.
1 · Situación
Un jardín cuadrado tiene un área de 20 m². ¿Cuánto mide aproximadamente cada lado?
lado = √20
Primera aproximación
¿Entre qué dos enteros está √20?
2 · Idea clave
Si el radicando es cuadrado perfecto:
√81 = 9
Si no lo es, la raíz queda entre dos enteros:
4 < √20 < 5
Buscamos un decimal cuyo cuadrado esté cerca del radicando:
4,47² ≈ 19,98
Encuentra los cuadrados vecinos
Para √N, localiza a² < N < (a+1)².
Encierra la raíz
Entonces a < √N < a+1.
Refina con decimales
Prueba décimas, centésimas o usa una calculadora si está permitido.
3 · Recta numérica
RECTA NUMÉRICA LOCAL
El punto turquesa muestra la posición aproximada de la raíz entre sus dos enteros vecinos.
4 · Refinar
4² = 16 < 20 < 25 = 5²
Entonces 4 < √20 < 5.
4,4² = 19,36 < 20
4,5² = 20,25 > 20
Entonces 4,4 < √20 < 4,5.
4,47² = 19,9809
4,48² = 20,0704
Así, √20 ≈ 4,47 a dos decimales.
5 · Laboratorio
Una forma rápida de comprobar una aproximación es elevarla al cuadrado. Cuanto más cerca esté ese cuadrado del radicando, mejor es la aproximación.
√50 ≈ 7,07
7,07² ≈ 49,9849: muy cerca de 50.
√50 ≈ 8
8² = 64: demasiado lejos, así que es una mala aproximación.
6 · Práctica
7 · Reto aplicado
Una plaza cuadrada tiene un área de 350 m². Se necesita estimar la longitud de un lado con una cifra decimal para calcular una cerca.
lado = √350
Sabemos que 18² = 324 y 19² = 361.
¿Cuál es la mejor aproximación?
8 · Evaluación
Necesitas al menos 4 de 5 respuestas correctas para completar la lección.
Una raíz es exacta si el radicando es un cuadrado perfecto. Para aproximar √N: busca cuadrados perfectos vecinos, encierra la raíz y refina con décimas o centésimas.
