Regla matemática
x · y = k
La constante k representa una cantidad total que no cambia. Para dos situaciones:
x₁ · y₁ = x₂ · y₂
Por ejemplo: 6·12 = 9·8 = 72.
A veces, cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye de manera perfectamente coordinada. La clave no es “una sube y otra baja”, sino que su producto permanece constante.
Pregunta guía
6 trabajadores → 12 días
9 trabajadores → ¿cuántos días?
Si todos trabajan al mismo ritmo y el trabajo total es el mismo:
6 × 12 = 9 × x
x = 8 días
1 · Observa el patrón
Supongamos una tarea fija: pintar el mismo muro. Si 6 trabajadores tardan 12 días, al aumentar el número de trabajadores debería disminuir el tiempo, siempre que todos tengan el mismo rendimiento.
Mira el producto
3 × 24
= 72
6 × 12
= 72
9 × 8
= 72
El producto trabajadores × días permanece constante: 72 trabajador-días.
En situaciones reales pueden existir límites de espacio, coordinación o rendimiento. Aquí usamos el modelo ideal de productividad constante para aprender la relación matemática.
Clasifica la relación
2 · Idea fundamental
Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, multiplicarlas siempre produce el mismo valor.
Regla matemática
x · y = k
La constante k representa una cantidad total que no cambia. Para dos situaciones:
x₁ · y₁ = x₂ · y₂
Por ejemplo: 6·12 = 9·8 = 72.
No basta con “una sube y otra baja”
Para que sea proporcionalidad inversa, el cambio debe compensarse exactamente.
Si una se duplica, la otra debe reducirse a la mitad. Si una se triplica, la otra debe quedar en la tercera parte.
¿El total se mantiene? ¿Al aumentar una magnitud, la otra debe disminuir?
Calcula el producto conocido: x₁·y₁ = k.
Usa x₂·y₂ = k y divide para encontrar el dato faltante.
3 · Laboratorio interactivo
Elige una situación conocida y cambia el número de trabajadores. La plataforma calculará el tiempo equivalente bajo el modelo ideal.
Resultado
PRODUCTO k
72
NUEVO TIEMPO
8
días
COMPROBACIÓN
9 × 8 = 72
Prueba mental rápida
Pasar de 6 a 9 trabajadores es multiplicar por 1,5; por eso el tiempo debe dividirse entre 1,5.
4 · Visualiza la relación
En una proporcionalidad directa, la gráfica es una recta que pasa por el origen. En una proporcionalidad inversa, la relación es:
y = k / x
La curva se acerca a los ejes, pero no los toca cuando trabajamos con valores positivos.
Mueve el control y observa cómo cambia la curva.
5 · Practica
No todas las preguntas se resuelven igual. Antes de operar, identifica la relación.
6 · Reto aplicado
Tres bombas iguales llenan un tanque en 10 horas. Si funcionan 5 bombas iguales al mismo ritmo, ¿cuánto tardarán?
El volumen del tanque es fijo: más bombas deben significar menos tiempo.
7 · Comprueba lo aprendido
Con 4 de 5 o más completarás la lección.
Idea clave: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando su producto permanece constante.